Stossphysik
Was ist ein Zusammenstoss ? Wir behandeln das Problem in elementarer Weise.
Dies wird uns erlauben, die beiden vom Programm angebotenen Stossalgorith-
men zu verstehen und zu wissen, was es bedeutet, den einen oder anderen zu
wählen.
Symbolik: Wir sollten bei den meisten Formeln Vektor-Notation verwenden. Da
es dafür aber keine ASCII-Symbole gibt, werden wir jeweils anmerken, dass
wir es mit Vektoren zu tun haben und die Komponenten zu deren Definition
angeben.
Herleitung des Stoss-Algorithmus
Die am Stoss beteiligten Teilchen werden mit 1,2 numeriert. Sie haben die
gleiche, invariante Punktmasse, also m1 = m2 = m, und den gleichen Hartku-
geldurchmesser d (wie kann eine Punktmasse einen Durchmesser haben ? s.u.).
Im 'Laborkoordinatensystem' ruht das Gasgefäss. Wir wählen seine recht-
eckige Form für die Koordinaten x,y der Teilchen. Dann seien die
Ortsvektoren:
r1 mit den Komponenten (x1,y1), und
r2 mit den Komponenten (x2,y2), sowie die
Geschwindigkeitsvektoren:
v1 mit den Komponenten (vx1,vy1), und
v2 mit den Komponenten (vx2,vy2).
Diese Zahlen, gespeichert in den Komponentenfeldern, verwenden wir in der
Simulation zur Beschreibung des Geschehens. Für jeden Zeitschritt Dt (impli-
zit im Wechsel der Momentbilder) wird der Ortsvektor mit dem in Dt durch-
laufenen Wegstück v·Dt vergrössert:
ri(t+Dt) = ri(t) + vi·Dt für das i-te Teilchen. (W)
Im Computer machen wir die Addition natürlich komponentenweise: Für Parti-
kel #1 spaltet (W) in die beiden Komponentengleichungen auf:
x1(t+Dt) = x1(t) + vx1·Dt
y1(t+Dt) = y1(t) + vy1·Dt
und analog für Partikel #2.
Zu jedem Zeitpunkt können wir den Schwerpunkt S des Zweiteilchensystems
definieren: Sei R der Ortsvektor des Schwerpunkts. Dann gilt nach dem
Hebelgesetz, dass die beiden Drehmomente m1·(R-r1) und m2·(R-r2) bezüg-
lich des Schwerpunkts einander entgegengesetzt gleich sind (Definition des
Schwerpunkts!):
d.h. m1·(R-r1) + m2·(R-r2) = 0 oder
m1·r1 + m2·r2
m1·r1 + m2·r2 = (m1+m2)·R also R = ------------- ; (1)
m1 + m2
mit m1 = m2 = m ist somit r1 + r2 = 2R und R = (r1+r2)/2,
bei gleichen Massen liegt S in der Mitte auf der Verbindungsgeraden
der Teilchen, was wir ja schon wussten!
Wie bewegt sich der Schwerpunkt? Dazu können wir die Ableitung von (1)
nach der Zeit bilden (oder, wenn diese Operation nicht zur Verfügung
steht, auch direkt einsehen, wie sich das Wegelement von S zu den Weg-
elementen der beiden Teilchen verhält, indem wir (W) in (1) einsetzen) (wir
verwenden für den Schwerpunkt grossgeschriebene Symbole):
m1·v1 + m2·v2
V = ------------- Schwerpunktsgeschwindigkeit. (2)
m1 + m2
mit m1 = m2 = m ist somit v1 + v2 = 2V und V = (v1+v2)/2,
bei gleichen Massen ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit gleich dem Mit-
telwert der Geschwindigkeiten der Stosspartner.
Gleichung (2) kann auch als Impulsgleichung geschrieben werden:
vor dem Stoss
m1·v1 + m2·v2 = (m1 + m2)·V (3)
(m1 + m2)·V = m1·w1 + m2·w2
nach dem Stoss
d.h. die Summe der Impulse der Teilchen ist gleich dem Impuls, den
die Bewegung des Schwerpunkts besitzt, wenn in ihm die beiden Teilchenmas-
sen vereinigt wären.
Da beim Stoss der Impuls erhalten bleibt, folgt aus (3), dass sich der
Schwerpunkt vor und nach dem Stoss mit genau gleicher Richtung und
gleichem Geschwindigkeitsbetrag bewegt. Wir können deshalb den Impuls nach
dem Stoss rechts mit den Summanden m1·w1, m2·w2 hinzufügen.
Da sich also die Schwerpunktsbewegung beim Stoss nicht ändert, brauchen
wir sie zur Beschreibung des Stosses nicht.
Uns interessiert nur die Relativbewegung der Stosspartner. Was ist das ?
Der relative Ortsvektor zweier Teilchen ist der Verbindungsvektor ihrer
Massenpunkte. Man erhält ihn durch Bildung der Vektordifferenz:
r = r2 - r1 ;
Wiederum durch Ableitung nach der Zeit (oder direkt) definieren wir die
Relativgeschwindigkeit:
v = v2 - v1 . (4)
Aus (3) bekommt man durch Auflösen nach v1:
v1 = (m1+m2)·V/m1 - m2·v2/m1. Dies setzen wir in (4) ein und
erhalten:
m1 + m2 m1 + m2
v = -------·(v2 - V) = - -------·(v1 - V) oder
m1 m2
m2 m1
v1 = V - ------- ·v v2 = V + ------- ·v
m1 + m2 m1 + m2
mit m1 = m2 = m ist somit v1 = V - v/2, v2 = V + v/2 . (5)
Damit haben wir die beiden Geschwindigkeiten v1, v2 vom 'Laborkoordinaten-
system' ins 'Schwerpunktskoordinatensystem' transformiert: Da sich V beim
Stoss nicht ändert, könnten wir es auch Null setzen. Unser Beobachtungsort
befände sich dann im Schwerpunkt und wir sähen nur die Relativebewegung der
beiden Stosspartner. Sie würden sich uns nähern, zusammenstossen und her-
nach mit veränderten Geschwindigkeitkomponenten wieder wegfliegen. Wir neh-
men unten einen noch einfacheren Beobachterstandort an.
Jetzt wollen wir die kinetische Energie betrachten, die beim elastischen
Stoss erhalten bleibt (Bildung der Summe der Quadrate von (5) und Multi-
plikation mit m/2):
1 1 1 1 m1·m2
-·m ·v² + -·m ·v² = -·(m +m )·V² + -·µ·v² mit µ = -------
2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 m1 + m2
Der erste Term rechts ist die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung,
der zweite jene der Relativbewegung der beiden Stosspartner.
Da V beim Stoss nicht verändert wird, kann wegen der Energieerhaltung der
Betrag der relativen Geschwindigkeit |v| durch den Stoss ebenfalls nicht
verändert werden. Die Wirkung des Zusammenstosses besteht also nur darin,
dass v um einen Winkel ß, den (relativen) Streuwinkel, in den Vektor w ge-
dreht wird, und |v| = |w|. Die Beträge des einfallenden und ausfallenden
relativen Geschwindigkeitsvektors sind gleich gross. Dieser einfache Befund
rechtfertigt alle bisherige Mühsal!
Bis hierher haben wir die Kinematik des Stosses betrachtet. Wie steht es
mit der Dynamik ? Was bewirkt die Ablenkung des Partners beim Zusammen-
stoss ? Die Rotation des relativen Geschwindigkeitsvektors wird durch die
Wechselwirkungskräfte zwischen den beiden Teilchen während dem Stoss ver-
ursacht. Diese können anziehend oder abstossend sein, je nachdem wie gross
der Abstand der Teilchen ist. Bei 'harten' Kugeln hat man nur abstossende
Kräfte, die im Abstand d der Teilchenschwerpunkte abrupt beginnen und bei
abnehmender Distanz -> inf streben, während sie beim Abstand >d dauernd Null
sind. Ein stossendes Teilchen gelangt ohne Behinderung bis zur 'Berührung'
mit dem andern im Abstand d der Punktmassen. Dort wird während einer sehr
kurzen Zeit die kinetische Energie der Relativbewegung in eine Deformation
der Stosspartner umgewandelt, bis die Teilchen relativ zueinander ruhen.
Nun beginnen sich (3. Gesetz von Newton!) die zusammengestauchten Stoss-
partner zu entspannen, wobei die gesamte Deformationsenergie wieder in
die kinetische Energie der wegführenden Relativgeschwindigkeit umgewandelt
wird, mindestens, wenn der Stoss elastisch ist. Es ist jedoch nicht nötig,
alle diese Teilprozesse zu modellieren. Wir sehen nun ein, dass der 'Teil-
chendurchmesser' immer ein (Kraft-)Wirkungsdurchmesser ist, weshalb auch
eine Punktmasse einen Radius haben kann. Für reale Moleküle, welche mit
van der Waals-Kräften wechselwirken, werden wir dies unten genauer beschrei-
ben.
Der 'Streuwinkel' ß, um den v in w gedreht wird, ist auf der Figur gezeich-
net, welche Sie durch Drücken von 'F2' immer hervorholen können. ß ist nur
vom 'Stossparameter' b abhängig, dem kleinsten Abstand, den die beiden Mas-
senpunkte beim Stossereignis senkrecht zu v annehmen. Er wird durch die
Lage der Flugbahnen und die Wechselwirkungskraft der beiden Punktmassen
beim Stoss bestimmt: b = 0 für den zentralen Stoss der Teilchen mit ß = p;
b = d für den streifenden Stoss mit ß = 0, und alle Werte 0 < b < d für
alle übrigen Stossereignisse. Im Fall starr-elastischer, 'harter' Kugeln
kann der Abstand d zwischen den beiden Massenpunkten nicht unterschritten
werden, weshalb es eine einfache Beziehung zwischen Stossparameter und
Streuwinkel gibt: b = d·cos(ß/2), siehe Figur mit 'F2'.
Wir setzen uns nun in Gedanken auf eines der beiden Teilchen und erfahren
den Stoss dann als Annäherung des anderen Teilchens mit der Relativge-
schwindigkeit v und Wegfliegen desselben mit der um den Streuwinkel ß
gegenüber seiner Einfallsrichtung gedrehten Relativgeschwindigkeit w,
die den Betrag der alten hat, also |w| = |v|.
[Einschub für tiefer Interessierte: Wenn ein Geschwindigkeitsvektor gedreht
wird, kommt der Drehimpuls ins Spiel. Dieser ist eine noch wichtigere Erhal-
tungsgrösse als der lineare Impuls. Er muss also vor und nach dem Stoss
gleich gross sein. Dies führt dazu (Herleitung ist hier nicht beabsichtigt),
dass der Stossparameter für den Stoss in umgekehrter Richtung gleich gross
ist. Die einzelnen Teilchen haben als Punktmassen keine Struktur, sodass
sie nicht noch Drehimpuls in der Eigenrotation oder linearen Impuls in
Schwingungen speichern können. Für mindestens zweiatomige Moleküle trifft
dies aber zu, wodurch der Zusammenstoss wesentlich kompliziertere Gesetze
befolgen muss und nicht mehr elastisch sein kann (ausser bei ganz tiefen
Temperaturen, wo die Rotation oder Schwingung noch nicht 'angeregt' ist)].
Wir haben bei der Stossbeschreibung nun das folgende Problem zu lösen: Wir
kennen die vier Geschwindigkeitskomponenten vx1, vy1, vx2, vy2 vor dem
Stoss, aus denen wir die vier Werte wx1, wy1, wx2, wy2 nach dem Stoss zu
bestimmen haben. Dazu brauchen wir vier Gleichungen. Drei können wir so-
gleich hinschreiben:
(I) m wx + m wx = m vx + m vx Erhaltung des x-Impulses
1 1 2 2 1 1 2 2
(II) m wy + m wy = m vy + m vy Erhaltung des y-Impulses
1 1 2 2 1 1 2 2
(III) m wx² + m wx² + m wy² + m wy² = m vx² + m vx² + m vy² + m vy²
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
Erhaltung der kinetischen Energie
Die vierte Gleichung hängt von den Einzelheiten des Zusammenstosses ab,
d.h. vom Stossparameter b und dem daraus folgenden Streuwinkel ß.
Um herauszufinden, wie wir dieses Problem bei der Modellierung meistern
können, machen wir die willkürliche Annahme, der relative Streuwinkel sei
immer gleich gross und setzen ihn gleich 90° = p/2, ein 90°-artiger Stoss.
Dies legt einen Stossparameter von b = d·cos45 = d/Sqrt(2) fest (siehe
die Figur mit 'F2'), d.h. die eine Kugel trifft die andere immer am gleichen
relativen Ort. Die Stossebene, welche durch die Vektoren v und w aufgespannt
wird (es ist auch im dreidimensionalen Raum eine Ebene), schneidet einen
Grosskreis aus der stillstehend gedachten Streukugel. Diese hat den Radius
d und ihre Oberfläche ist die Menge möglicher Stosspunkte.
Unsere Annahme führt nun zu der folgenden Relation: Wenn wir dem Grosskreis
ein Zifferblatt verpassen, so sei der Stosspunkt bei 10:30 Uhr. Der Stoss-
partner fliegt parallel zur Richtung 9:00 Uhr der Streukugel auf diesen
Punkt zu. Der Wegflug ist hernach parallel zur Richtung 12:00 Uhr, wenn ß
= 90°. Natürlich gibt es beliebig viele Positionen auf dem Uhrzifferblatt,
welche analoge Punkte anbieten. Sie sind alle zugelassen und werden wegen
dem variablen V auch erreicht.
Die Annahme ß = 90° scheint sehr künstlich zu sein, weil in der Natur b
doch alle Werte von 0 <= b < inf annehmen kann, wobei wir b = 0 (ß=p) den
zentralen und b = d den streifenden Stoss (ß = 0) schon erwähnt haben.
b > d bedeutet bei harten Kugeln einen vermiedenen Zusammenstoss, wobei die
oben gegebene Beziehung zwischen d und ß natürlich nicht mehr anwendbar ist,
da bei b > d gar keine Wechselwirkung der beiden Teilchen stattfindet. Der
Stossbereich beträgt also 0 <= ß < p. 90° ist in der Mitte dieses Bereichs.
Die Simulation zeigt nun, dass jeder fixe Streuwinkel 0 < ß < p zu den
gleichen Geschwindigkeitsverteilungsgesetzen und Gasgesetzen in Übereinstim-
mung mit dem Experiment führt. Somit kann auch ein zwischen diesen Werten
zufällig schwankender Streuwinkel kein anderes Resultat liefern. Alle
Streuwinkel gewichten vx- und vy-Komponenten gleich, sodass die Isotropie
des Gasdrucks (Gesetz von Pascal) schliesslich immer erfüllt wird. Es dau-
ert nur länger, bis das Gleichgewicht erreicht wird, wenn ß in der Nähe der
oberen oder unteren Grenze gewählt wird. Die Gleichgewichtseigenschaften
sind jedoch unabhängig von der Wahl des Streuwinkels. Wieso also nicht
ß = 90° wählen? Der '90°-Stoss' ergibt den einfachsten und schnellsten
Stossalgorithmus, und 90° liegt in der Mitte des erlaubten Bereichs. Um
die hier dargestellte Stossphysik überprüfen zu können, haben wir noch eine
andere Variante vorgesehen: Mit dem Schalter '>' können Sie zwischen dem
'90°-Stoss' und einem bei jedem Stossereignis zufällig zwischen 0 < ß < p
gewählten Streuwinkel hin- und herschalten. Versuchen Sie die Unterschiede
zu entdecken!
Stossalgorithmen im Programm
Wir leiten beide Stossalgorithmen her, welche im Programmcode verwendet
werden. Der zugehörige Pascal-Quellcode kann mit Erkl.3) angesehen werden.
Der 90° Stossalgorithmus setzt die Komponenten der Geschwindigkeiten
nach dem Stoss auf die folgende Weise mit jenen vor dem Stoss in Be-
ziehung:
nach vor dem Stoss
wx1 = ( vx1 - vy1 + vx2 + vy2)/2 = halfsum - vy1
wy1 = ( vx1 + vy1 - vx2 + vy2)/2 = halfsum - vx2
wx2 = ( vx1 + vy1 + vx2 - vy2)/2 = halfsum - vy2
wy2 = (- vx1 + vy1 + vx2 + vy2)/2 = halfsum - vx1,
mit halfsum := ( vx1 + vy1 + vx2 + vy2)/2.
Dies ist Prozedur hit90(xc,yc) im Quellcode zu GASSIM.
Wir brauchen nur 7 Additionen/Subtraktionen und eine Multiplikation
mit 0.5 für diese Umrechnung. Die Herleitung ist sehr einfach:
Der 90°-Stoss verwandelt den Vektor der Relativgeschwindigkeit
vor dem Stoss nach dem Stoss
v = (vx, vy) in w = (-vy,vx) um;
für einen allgemeinen Winkel ß gilt: wx = vx·cosß - vy·sinß (6)
wy = vx·sinß + vy·cosß,
was für 90° die eben gegebenen Komponenten erzeugt. Die Längen von v und w
sind gleichgross, wie es die Erhaltungsgesetze fordern, unabhängig von der
Grösse von ß.
Wir setzen dies in (5) ein:
v1 = V - v/2 w1 = V - w/2 (7)
v2 = V + v/2 w2 = V + w/2
und komponentenweise mit
Vx = (vx1 + vx2)/2 Vy = (vy1 + vy2)/2
vx = vx2 - vx1 vy = vy2 - vy1
wx = -vy2 + vy1 = -vy wy = vx2 - vx1 = vx wird nun
wx1 = Vx + vy/2 = (vx1 + vx2 + vy2 - vy1)/2 = halfsum - vy1
wy1 = Vy - vx/2 = (vy1 + vy2 - vx2 + vx1)/2 = halfsum - vx2
wx2 = Vx - vy/2 = (vx1 + vx2 - vy2 + vy1)/2 = halfsum - vy2
wy2 = Vy + vx/2 = (vy1 + vy2 + vx2 - vx1)/2 = halfsum - vx1,
womit der Algorithmus begründet ist. Er erfüllt die 'Stossinvarianten'
(Erhaltung der Masse, der kinetischen Energie und des Impulses) und
die Annahme b = 0.7071·d mit ß = 90°. Im Computerprogramm wird weder b
noch d explizit gebraucht. ß = 90° impliziert diese Grössen in Übereinstim-
mung mit der Stosstheorie harter Kugeln. Für eine Animation des 90°-Stos-
ses, die alle bisher entwickelten Konzepte zeigt, sollten Sie COLLIS90 auf
Ihrer Diskette aufrufen. Hier ist eine Figur daraus:
Für einen zufällig gewählten Streuwinkel 0 < ß < p sieht der entprechende
Algorithmus nach (6) und (7) wie folgt aus: Wir bestimmen zuerst
ß = random·p, wobei 'random' eine von Pascal zur Verfügung gestellte Funk-
tion ist. Bei jedem Aufruf produziert sie eine (andere) Zufallszahl zwischen
0 und 1. Nun wird analog zur Herleitung des 90°-Stosses:
Vx' = vx1 + vx2 {= 2 Vx; multipliziere unten mit 0.5}
Vy' = vy1 + vy2 {= 2 Vy; ..... }
wx = (vx2 - vx1)·cosß - (vy2 - vy1)·sinß {Rotation des Vektors}
wy = (vx2 - vx1)·sinß + (vy2 - vy1)·cosß {der Relativgeschwin-}
wx1 = 0.5·(Vx - wx) {digkeit }
wx2 = wx1 + wx
wy1 = 0.5·(Vy - wy)
wy2 = wy1 + wy berechnet.
Dieser Algorithmus wird als TurboPascal Quellcode ebenfalls in Erkl.3) ge-
zeigt: Prozedur hitrand(i,j).
Mit ß = p/2 gehen diese Gleichungen in die oben gegebenen über. Wir brau-
chen jetzt 12 Additionen/Subtraktionen, 6 Multiplikationen und zwei Win-
kelfunktionswerte pro Stossereignis. Dies verlangsamt die Stossberechnung
gegenüber dem 90°-Stoss ohne Coprozessor stark, wie man durch Hin- und
Herschalten zwischen diesen beiden Arten mit dem '>'-Kommando erkennt.
Eine vollständige Simulation benötigt keine Vorgabe des Streuwinkels. Man
kann den Streuwinkel mit dem Stossgeschehen explizit modellieren, also die
Bahnen der Teilchen und die dadurch und mit der Wechselwirkungskraft be-
stimmten b-Werte einzeln verfolgen. Dies wäre die vollständige Stossphysik.
Mit einem Mikrocomputer kann man dies jedoch nur noch mit wenigen Teilchen
vorführen. Es ist ein Cray oder ebenso leistungsfähiger Supercomputer er-
forderlich, um 256 Moleküle zu bewegen. Im mitgelieferten Programm COLLISIO
simulieren wir Stösse zwischen zwei bis zehn Argonatomen in ihrem realen
intermolekularen Kraftfeld. Der gezeichnete Kugelradius ist der sogenannte
van der Waals (vdW) Radius.
Wirkliche Moleküle sind natürlich keine harten Kugeln und haben auch keinen
Radius. Das Wechselspiel zwischen anziehender Kraft bei grösserem Abstand
und abstossender Kraft beim 'Ineinanderdringen' erzeugt die Illusion eines
Radius. Der vdW-Radius R ist der Ort im Wechselwirkungspotential V(r), wo
V(R)=0 ist. V(r<R) ist > 0, also repulsiv, V(r>R) < 0, also attraktiv mit
V(r -> inf) -> 0.
COLLISIO zeigt bei den Stossereignissen viele verschiedene Werte von b und ß
mit einer vollständigen Stossdynamik durch Lösen der Hamilton'schen Bewe-
gungsgleichungen (40 Differentialgleichungen, die bei jedem Zeitschritt bei
10 Atomen gelöst werden müssen, siehe COLLISIO.PAS Quellcode).
Der vdW-Radius der gezeichneten Kreise spielt bei der Berechnung nur eine
Rolle beim Stoss mit den Wänden, nicht jedoch bei den Teilchenstössen.
Er ist bei diesen nur ein hilfreiches Konzept für die Anschauung. Man
sieht nämlich, dass der vdW-Radius auch bei zentralen Stössen nur wenig un-
terschritten wird.
Als Zusammenfassung sehen Sie die Graphik des 90°-Stosses nochmals. Benützen
Sie COLLIS90 für eine lebendige Demonstration aller Zusammenhänge beim
Stoss.
