Grundformeln der kinetischen Gastheorie
Kinetische Energie
m [masse]; vx,
m n n vy G.komponente
(1) E = - * ( S(vx²(i)) + S(vy²(i)) ) S Summenzeichen
kin 2 i i i Teilchennummer
n Teilchenzahl
Das Programm setzt m=2 (Wasserstoff Molekül als einatomiges Gas!); wo-
durch der Faktor m/2 = 1 [Masseneinheit] wird.
(2) T proportional E : E = RT für 1 mol des
kin kin Idealen 2D-Gases
R = 8.31451 J/mol/K
Ekin = (3/2)RT 3D-Gas
Mittelwerte der Geschwindigkeit(skomponenten)
1 n n 1
(3) <v²> = - * ( S(vx²(i)) + S(vy²(i)) ) = - * E
n i i n kin
(4) u = Ö<v²> wird in jedem Momentbild der Simulation bestimmt.
Maxwell-Boltzmann Gleichgewichts-Verteilung für 2D-Gas
(5) w(v) = (m/kT) * v * exp(-mv²/2kT);
Daraus die Mittelwerte: u = Ö<v²> = Ö(2kT/m) = exper. Wert
(6) Mittlere Geschw.: = Ö(pkT/2m) = Ö(p/4) * u = 0.8862 * u
(7) Geschwindigkeit beim Maximum der Verteilung (wahrscheinlichste G.)
v = Ö(kT/m) = u/Ö(2) = 0.7071 * u
max
Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeitskomponenten
(8) w(vx) = Ö[(m/2pkT)] * exp(-m(vx)²/2kT) (Gauss'sche Glockenkurve)
(9) Mittelwerte:
<vx> = <vy> = 0 , d.h. <v-vector> = 0
Boltzmann Verteilung der kinetischen Energie,
herausprojiziert in der
barometrischen Dichteverteilung, wenn die Schwerkraft wirkt:
n(h) Teilchenzahl zwischen
(10) n(h) = n(0) * exp(-mgh/RT) den Höhen h und h+dh,
m Masse des Teilchens
Mit Ausnahme von (6) und (7) (Zahlenwerte 0.8862 und 0.7071) und (2): T
proportional zu Ekin = Definition der Temperatur, wird keine der gegebenen
Relationen im Programm benutzt, also werden weder die Maxwell-Boltzmann,
Maxwell- noch Boltzmann-Verteilungen als gültig vorausgesetzt.
Die Stösse zwischen den Teilchen werden unter der Annahme der
Erhaltung der kinetischen Energie und
der Summe je der Impulse in x- and y-Richtung bestimmt.
Die Stösse zwischen den Teilchen und der Wände werden als elastisch ange-
nommen (keine Verwandlung von kinetischer in potentielle Energie und umge-
kehrt).
Für adiabatische Volumenänderungen addiert der bewegte Stempel seine Ge-
schwindigkeit ±vy(Stempel) vektoriell zu jener eines reflektierten Parti-
kels.
Wenn 'G'ravitation an ist, wird die dritte wichtige Verteilungsfunktion
exakt simuliert: Die Boltzmann Verteilung der Energie. Das Histogramm
der Populationen bei verschiedenen Höhen ist die Projektion der Boltzmann-
Verteilung der Translationsenergie des mikrokanonischen Ensembles auf
die (kontinuierlichen) Energieniveaus des Gravitationsfelds. Dies ist auch
eine Invariante des Systems. Die Eigenschaft, die das direkt zeigt, ist
die durchschnittliche Höhe des Schwerpunkts (grüner Strich), der nur von
der totalen kinetischen Energie des Systems abhängt, wenn die Fall-
beschleunigung und die Teilchenmasse konstant sind.
Die Resulte der Simulation, d.h. die Gültigkeit der drei wichtigen invar-
ianten Verteilungen
Maxwell-Boltzmann (5): für den Absolutwert der Geschwindigkeit,
Maxwell (8): für die Komponenten vx und vy um ihren Mit-
telwert, also 0, und
Boltzmann (10): für die Translationsenergie (barometrische
Dichte-Verteilung),
sind Konsequenzen der Anwendung der Newton'schen Gesetze auf ein Ensemble
von 255 Teilchen.
Da diese Verteilungsfunktionen experimentell beobachtet werden, simuliert
das Modell die Eigenschaften des idealen Gases in Übereinstimmung mit dem
Experiment und der kinetischen Gastheorie. Die letztere erhält diese
Befunde ohne Computer-Simulation durch direkte Berechnung. Natürlich
sollte man die Einsichten, welche die Simulation vermittelt, parallel oder
anschliessend mit den Herleitungen der kinetischen Gastheorie vertiefen.
Dies wird jedoch gewöhnlich erst auf Hochschulniveau möglich sein.
Natürlich werden auch die einfacheren Relationen erfüllt:
Boyle-Mariotte: p*V = constant(T) p Druck V Volumen
Charles-Gay Lussac: V/T = constant(p) pV = nRT n Molzahl
p/T = constant(V) T Temperatur
Poisson (Adiabate): p*Vµ = const. und µ = Cp/Cv
T*Vµ-1 = const.
Tµ/pµ-1 = const.
Mehrere Tutorials zeigen diese Zusammenhänge in allen Einzelheiten.