Siehe Demo DIFFUS.
Hier wird die Herleitung der in DIFFUS verwendeten mathematischen Funk-
tion zur Beschreibung der Vermischung der beiden Zylinderhälften durch
einen Schlitz in der Mittelwand gegeben:
Der Diffusionsstrom einer Teilchenart (magenta farbene Moleküle) ist
nach Fick dem Konzentrationsgefälle proportional. In einer Dimension
wird das:
dN Dc D Diffusionskonstante [cm²/s]
(1) -- = - D*L*-- N Teilchenzahl; L Schlitzweite
dt Dy c Teilchenzahl pro Flächeneinheit
Wir setzen k:= D*L/Dy; L/Dy ist eine 'Apparatur Konstante', D wird von der
Gasart, insbesondere von der Masse des Teilchens bei gegebener Tempe-
ratur bestimmt.
Da die Flächen oberhalb und unterhalb der Mitte gleich gross sind,
werden die Konzentrationen den Teilchenzahlen proportional. Aus (1)
wird deshalb:
dNu/dt = -k*(Nu - Nl) Nu Teilchen in der oberen Hälfte
Nl Teilchen in der unteren Hälfte
Da ferner N = Nu + Nl N Gesamtzahl der magenta Teilchen
wird
dNu/dt = -k*Nu + k*(N - Nu) = -2*k*Nu + k*N
Trennung der Variablen ergibt:
dNu/(2Nu - N) = -k*dt und
d(2*Nu-N)/(2*Nu-N) = -2*k*dt.
Integration:
ln(2*Nu-N) = -2*k*t + const. Einsetzen der Anfangsbedingung:
- ln(N) = - const. Nu(t=0) = N (alle Teilchen in
------------------------------- oberer Hälfte)
2*Nu-N -2kt Nu -2kt
------ = e --> 2*-- - 1 = e
N N
und schliesslich die Formel der Demo:
+----------------------+
¦ Nu 1 -2kt ¦
¦ -- = -*(1 + e ) ¦ q.e.d.
¦ N 2 ¦
+----------------------+
Die Auswertung der 'Versuche', die dieser Formel gehorchen, ergibt die
Konstante k. Diese wird durch die Schlitzbreite dividiert, woraus eine
der Diffusionskonstanten proportionale Grösse folgt, die wir direkt ver-
wenden, um ihre Temperaturabhängigkeit zu untersuchen. Man findet mit dem
Tutorial DIFFUS, dass D proportional ÖT, wie in der Natur.